临界情况下有限变形映射的离散性和开放性
摘要：具有非负雅可比行列式 $J_F(x) = \text{det} DF(x) \geq 0 $ 几乎在 $ \Omega \subset \mathbb{R}^n $ 的映射 $ F \in W_{\text{loc}}^{1,n}(\Omega;\mathbb{R}^n) $ 定义了映射 $ F $ 的扩展。映射 $ F $ 的扩展在 $ \Omega $ 中几乎处处由公式 $ K(x) = \frac{|DF(x)|^n}{J_F(x)} $ 定义。如果 $ K(x) $ 几乎处处有界，则称该映射为拟正则映射。拟正则映射是高维度上全纯映射的推广。高维拟正则映射理论起源于Rev{s}hetnyak的定理，该定理说明非常量的拟正则映射是连续、离散且开映射。
在非线性弹性理论中出现的一些问题中，对于 $ K(x) $ 的有界性条件过于严格。通常我们只知道 $ F $ 有有限的扩展，即 $ K(x) $ 几乎处处有界且对于某个值 $ p $，$ K(x)^p $ 是可积的。在二维中，Iwaniec和v{S}verak(IS)已经证明了$ K(x)\in L^1_{\text{loc}} $ 足以保证Rev{s}hetnyak定理的结论。
对于 $ n \geq 3 $，Heinonen和Koskela(HK)证明了如果映射是拟光滑的，并且对于 $ p>n-1 $ 有$ K(x)\in L^p_{\text{loc}} $，那么映射 $ F(x) $ 是连续、离散且开映射。Manfredi和Villmore(MV)在不假设映射 $ F(x) $ 是拟光滑的情况下证明了类似的结果。当 $ p 作者：Enrique Villamor 论文ID：math/0507576 分类：Complex Variables 分类简称：math.CV 提交时间：2007-05-23