模数为p^k的算术三元组和对称性
摘要：奇素数模$k$的有限环$Z_k = Z(+,.) \mod p^k$的余数算术进行了分析。 $Z_k（.）$的循环单位群$G_k$的阶数为$(p-1)p^{k-1}$，即$G_k = A_k B_k$。这里，阶数为$p-1$的核心$A_k$是Fermat's Small Theorem（FST*）的$k > 1$扩展，其中对于每个核心余数，$n^p == n（\mod p^k）$，而扩展子群$B_k$的阶数为$p^{k-1}$。证明了核心$A_k$的每个子群$S > 1$的和都为零，并且$p+1$生成了$G_k$中所有满足$n == 1（\mod p）$的子群$B_k$。在$G_k$中，$p$次幂的余数$n^p \mod p^k$形成一个阶数为$|G_k|/p$的子群$F_k$，其中$|F_k|/|A_k| = p^{k-2}$，所以对于$k > 2$，$F_k$严格包含核心$A_k$。通过二次分析（对于$p>2$时）比线性分析（对于$p=2$时按照Hensel's lemma [5]）可以推导出子群$G_k$和$F_k$的加法结构。后继函数$S(n) = n+1$与两个算术对称性$-n$（互补）和$1/n$（逆）结合产生了$G_k$的“三元结构”：三个逆对$n_i, 1/(n_i)$，满足$(n_i)+1 = - 1/n_{i+1}(\mod p^k)$（按照模3取余），并且$ n_0.n_1.n_2 = 1 (\mod p^k)$。如果$n_0 = n_1 = n_2 = n$，则简化为立方根解$n+1 = -(1/n) = -(n^2)(\mod p^k, p=1 \mod 6)$。利用指数$p$在核心余数之和上分配的性质“EDS”：$(x+y)^p == x+y == x^p + y^p (\mod p^k)$，可以推导出整数的已知FLT不等式。换句话说，与k位FLT（mod p^k）等价的是$k$位p次幂整数，而$(p-1)k$个进位则代表了二项式展开中混合项的和。
作者：N. F. Benschop
论文ID：math/0103014
分类：General Mathematics
分类简称：math.GM
提交时间：2007-05-23