将图形表示为轴平行立方体的交集
摘要：$k$维空间中的单位立方体（或简称为$k$-cube）被定义为笛卡尔积$R_1\times R_2\times...\times R_k$，其中$R_i$（$1\leq i\leq k$）是实线上形式为$[a_i,a_{i+1}]$的闭区间。图$G$的$k$-cube表示是将$G$的顶点映射到$k$-cube上的一个映射，使得$G$中的两个顶点相邻当且仅当它们对应的$k$-cube的交集非空。$G$的立方度，表示为$cubi(G)$，是满足$G$有一个$k$-cube表示的最小$k$值。Roberts证明了对于任意有$n$个顶点的图$G$，$cubi(G)\leq \frac{2n}{3}$。许多NP完全的图问题在立方度较低的图中具有多项式时间确定性算法或良好的近似比。在这些算法中，计算给定图的低维立方体表示通常是第一步。我们提出了一种高效的算法，在$O(Delta \ln b)$维中计算最大度为$Delta$的图$G$的$k$-cube表示，其中$b$是$G$的带宽。$G$的带宽最多为$n$，但可能更低。该算法接受$G$中顶点的带宽排序作为输入。虽然计算图的顶点的带宽排序是NP困难的，但在实践中有很好的启发式方法。即使在理论上，也有一个$O(\log^4 n)$的近似算法来计算图的带宽排序，使用这个算法可以在$k=O(Delta(\ln b + \ln\ln n))$维中生成任意给定图的$k$-cube表示。这两个关于立方度的界限被证明是紧凑的，最多相差$O(\log\log n)$。
作者：L. Sunil Chandran, Mathew C. Francis, Naveen Sivadasan
论文ID：cs/0607092
分类：Discrete Mathematics
分类简称：cs.DM
提交时间：2008-03-26