$k$-爪图中的独立集：条件$chi$有界性和LP/SDP松弛的能力
摘要：$k$-爪-无穷图中极端组合问题与用凸规划逼近该图类中的最大权重独立集问题之间的联系进行了研究。在极端问题中，我们考虑了一个图的条件$chi$-有界性的概念：给定一个假设包含某个（常数大小的）独立集的图$G$，我们有兴趣用图$G$的团数来上边界限制其色数。除了它本身有趣外，这个问题还对SDP松弛在估计最大权重独立集值的性能（在文献中相对忽视了）有算法上的影响。 对于$k=3$，Chudnovsky和Seymour（JCTB 2010）证明了任意一个包含一个大小为三的独立集的$3$-爪-无穷图$G$必须满足$chi(G) leq 2 omega(G)$。他们的结果通过SDP松弛给出了最大权重独立集的倍数2-估计算法（通过凸松弛在这类图中为最大权重独立集问题给出了第一个非平凡结果）。一个明显的开放问题是是否任意$k$-爪-无穷图都存在类似的条件$chi$-有界现象。我们的主要结果否定了这个问题。我们进一步提出了一些证据表明我们的构造在研究用于近似$k$-爪-无穷图中的最大权重独立集问题的凸松弛的能力方面可能很有用。特别地，我们证明了比在此上下文中已知的用于算法的凸松弛更强的一类凸程序的下界。
作者：Parinya Chalermsook and Ameet Gadekar and Kamyar Khodamoradi and Joachim Spoerhase
论文ID：2308.16033
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2023-08-31