最短路径结构需要较大边权的图存在吗？
摘要：图G的长宽比是其最大边权重与最小边权重的比值。长宽比通常作为图算法中的复杂度度量，特别是与最短路径的计算相关。流行的范例是通过对长宽比引入依赖，或仅仅关注长宽比低的输入图的情况，来在加权和非加权输入图之间插值。本文研究了这些范例的影响，探究了长宽比低的图是否比一般图具有更结构化的最短路径。特别地，我们提出了一个问题：是否可以从长宽比大的图中“重赋权”其边，以获得一个具有有界长宽比且保留其最短路径结构的图。我们的研究结果是： - 所有具有n个节点的加权有向无环图(DAG)都有一个保持最短路径的图，其长宽比为O(n)。一个简单的下界证明了这个结果是紧密的。 - 这个结果不能推广到一般的有向或无向图；事实上，在这些情况下，答案的指数级别。特别地，我们构造了有向和无向的n个节点的图，对于任何保持最短路径的图，其长宽比都是$2^{Ω(n)}$。 我们还考虑了这个问题的近似版本，即在H中的最短路径对应于G中的近似最短路径。我们证明了我们的指数下界甚至可以推广到这个设置。我们还证明了在一个紧密相关的模型中，其中H中的近似最短路径也必须对应于G中的近似最短路径，即使是DAGs也需要指数长宽比。
作者：Aaron Bernstein, Greg Bodwin, Nicole Wein
论文ID：2308.13054
分类：Data Structures and Algorithms
分类简称：cs.DS
提交时间：2023-08-28