整数群环上的低维代数复形
摘要：实现的问题询问：何时可以通过同伦从一个几何复形得到一个代数复形？在二维代数复形的情况下，这等价于D2问题，即何时同调方法可以区分二维和三维复形。我们通过对所有可能的代数二维复形进行分类并证明它们被实现来解决实现问题（从而解决D2问题）。我们表明，如果一个二面体群的阶为2n，则其上的代数复形由它们的第二同调群参数化，我们称之为代数第二同伦群。然后，Swan的一个注销定理允许我们解决群D8的实现问题。设X是一个有限几何二维复形。标准同构和Schanuel引理表明，pi\_2(X)的稳定类由pi\_1(X)决定。我们展示了如何类似地计算pi\_3(X)。具体来说，我们表明，作为基本群的模，pi\_3(X)是模pi\_2(X) otimes pi\_2(X)的对称部分。作为结果，我们能够展示当pi\_1(X)的阶数为奇数时，pi\_3(X)的稳定类也由pi\_1(X)决定。给定一个闭合、连通、可定向的五维流形，具有有限的基本群，我们可以用一个代数复形在同伦等价下表示它。庞加莱对偶引出了这个代数复形及其对偶之间的同伦等价。我们考虑这个同伦等价是否可以通过适当的代数复形选择来与恒等式类似。我们展示了它可以在复形的6个项中的4个项上取恒等式。然而，一个同调的障碍阻止了它成为恒等式。
作者：Wajid H. Mannan
论文ID：2308.11844
分类：Algebraic Topology
分类简称：math.AT
提交时间：2023-08-24