平滑距离逼近
摘要：将离散与连续两个方面结合起来的传统计算几何问题。其中一个例子是最近邻搜索，输入是离散的，但结果依赖于连续变化的距离。在许多几何数据结构的实际应用中，假设查询结果是连续的，没有跳跃不连续性。这与许多现代计算几何中的数据结构不相符，这些数据结构使用逼近方法来提高效率，但这些逼近常常存在不连续性。本文提出一种将近似但不连续的数据结构转化为产生平滑逼近结果的通用方法，同时保持原始结构的渐近空间效率。我们通过采用称为单位分割方法的方法，将多个局部逼近平滑地混合成单一平滑全局逼近。我们通过在$n$维空间中逼近凸多面体边界的距离应用该技术。我们首先开发了一种高效计算该查询的绝对$\varepsilon$-逼近的新型数据结构，其时间复杂度为$O(\log (1/\varepsilon))$，存储空间复杂度为$O(1/\varepsilon^{d/2})$。然后，我们利用提出的单位分割混合方法保证了近似距离场的平滑性，并建立了其梯度和Hessian矩阵范数的最优渐近界。
作者：Ahmed Abdelkader and David M. Mount
论文ID：2308.08791
分类：Computational Geometry
分类简称：cs.CG
提交时间：2023-08-21