参数化拟阵约束下的最大覆盖
摘要：在本文中，我们介绍了在一个拟阵中的密度平衡子集的概念，其中独立集可以被采样，从而保证（i）每个元素被采样的概率相同，（ii）这些事件是负相关的。这些密度平衡子集是拟阵的底层集合中的子集，在其中传统的均匀随机采样的概念可以被扩展。然后我们将这个概念应用到拟阵限制下的最大覆盖问题。在这个问题中，给定一个拟阵 $\mathcal{M} = (V, \mathcal{I})$ ，在一个底集 $V$ 上的秩为 $k$ 的拟阵和一个在 $V$ 上的覆盖函数 $f$，目标是找到一个独立集 $S \in \mathcal{I}$ ，使得 $f(S)$ 最大化。这个问题是一个重要的子模函数最大化问题在拟阵约束下的特殊情况；这也是图中最大 $k$-覆盖问题的推广。在本文中，假设覆盖函数具有有界频率 $mu$（即覆盖函数的底层元素最多出现在 $mu$ 个集合中），我们设计了一个过程，参数化为一个整数 $ho$，在多项式时间内提取一个大小为 $ho \cdot k$ 的近似核，可以保证包含一个 $1 - (mu - 1)/ho$ 的近似最优解。然后，这个过程可以用于获得一个固定参数可处理的近似方案（FPT-AS），在时间 $(mu/\varepsilon)^{O(k)} \cdot |V|^{O(1)}$ 内提供一个 $1 - \varepsilon$ 的近似。这扩展和改进了 [Manurangsi, 2019] 和 [Huang and Sellier, 2022] 的结果，为第一个适用于任意拟阵的固定参数可处理的近似方案。此外，由于其简单性，核构造可以在流式处理环境中执行。
作者：Franc{c}ois Sellier
论文ID：2308.06520
分类：Data Structures and Algorithms
分类简称：cs.DS
提交时间：2023-08-15