近似二次时间复杂度下的小物品背包问题
摘要：有界背包问题是计算机科学、优化和运筹学交叉领域中最基本的NP完全问题之一。最近的一系列研究旨在理解有界背包问题的伪多项式时间算法的复杂性，参数为最大物品重量$w_{\mathrm{max}}$和物品数量$n$。有一个条件下限证明了无论对于任意$\delta>0$，都不能以$O((n+w_{\mathrm{max}})^{2-\delta})$的时间解决有界背包问题[Cygan, Mucha, Wegrzycki, Wlodarczyk'17, K"unnemann, Paturi, Schneider'17]，这引发了有界背包问题是否可以在$O((n+w_{\mathrm{max}})^2)$的时间内解决的问题。解决这个问题的追求导致了以下算法的出现：运行时间为$O(n^3w_{\mathrm{max}}^2)$ [Tamir'09]，$O(n^2 w_{\mathrm{max}}^2)$和$O(nw_{\mathrm{max}}^3)$ [Bateni, Hajiaghayi, Seddighin, Stein'18]，$O(n^2w_{\mathrm{max}}^2)$和$O(nw_{\mathrm{max}}^2)$ [Eisenbrand and Weismantel'18]，$O(n+w_{\mathrm{max}}^3)$ [Polak, Rohwedder, Wegrzycki'21]，以及最近的$O(n+w_{\mathrm{max}}^{12/5})$ [Chen, Lian, Mao, Zhang'23]。 在本文中，我们通过设计一个有界背包问题的算法，其运行时间为$O(n+w_{\mathrm{max}}^2)$，从而解决了这个问题，该算法在有条件下是近似最优的。
作者：Karl Bringmann
论文ID：2308.03075
分类：Data Structures and Algorithms
分类简称：cs.DS
提交时间：2023-08-08