接近最优的动态集覆盖：突破二次于$f$的时间障碍
摘要：动态集合覆盖问题自从2015年的[Bhattacharya等人]和2017年的[Gupta等人]的开创性工作以来一直受到广泛的研究。输入是一个固定集合$S$的集合系统$(U, S)$和一个动态的元素集合，其中每个元素最多出现在$f$个集合中，每个集合的成本在$[1/C, 1]$的范围内，目标是在元素的插入和删除操作下有效地维护一个近似最小的集合覆盖。 大多数先前的工作考虑的是低频率情况，即$f = O(log n)$，并且这一系列工作以确定性的$(1 + epsilon)f$-近似算法为高潮，其平摊更新时间为$O(frac{f^2}{epsilon^3} + frac{f}{epsilon^2}log C)$ [Bhattacharya等人, 2021]。在高频率情况下$f = Omega(log n)$，由[Gupta等人, 2017]给出了一个带有平摊更新时间$O(flog n)$的$O(log n)$-近似算法。 有趣的是，在两个区域的交集$f = Theta(log n)$上，即使目前最先进的结果也是相同的：逼近$Theta(f) = Theta(log n)$，平摊更新时间为$O(f^2) = O(f log n) = O(log^2 n)$。迄今为止，没有先前的工作达到了$O(f^2)$的更新时间。 在本文中，我们通过以下结果打破了$Omega(f^2)$的更新时间障碍：(1) 可以在$Oleft(frac{f}{epsilon^3}log^*f + frac{f}{epsilon^3}log C ight) = O\_{epsilon,C}(f log^* f)$的期望平摊更新时间下维护$(1 + epsilon)f$-近似；我们的算法对抗自适应对手。(2) 可以在$Oleft(frac{1}{epsilon}flog f + frac{f}{epsilon^3} + frac{flog C}{epsilon^2} ight) = O\_{epsilon,C}(f log f)$的平摊更新时间下确定性地维护$(1 + epsilon)f$-近似。
作者：Anton Bukov, Shay Solomon, Tianyi Zhang
论文ID：2308.00793
分类：Data Structures and Algorithms
分类简称：cs.DS
提交时间：2023-08-03