高维欧几里德最小生成树的大规模并行算法
摘要：在本文中，我们研究了在大规模并行计算（Massively Parallel Computation，MPC）模型中的经典欧几里得最小生成树（Euclidean Minimum Spanning Tree，MST）问题。给定一个包含n个点的集合X，目标是生成一个X的生成树，使其权重接近最优值。欧几里得MST是最基础的层次地理聚类算法之一，随着庞大的高维数据集（例如基于大型变压器的嵌入）的增加，对于有效的分布式算法来聚类这样的数据集存在着迫切的需求。 在低维空间（即d = O(1)），Andoni、Nikolov、Onak和Yaroslavtsev[STOC '14]提出了一种恒定轮次的MPC算法，获得了高精度的（1+ε）-近似解。然而在高维空间中，情况更具挑战性：目前已知的获得恒定近似度的最佳算法需要O(log n)轮次。最近，Chen、Jayaram、Levi和Waingarten [STOC '22]基于嵌入到树度量中给出了一种恒定轮次的约εO(log n)近似度算法。然而，到目前为止，没有已知的算法同时实现了恒定轮次和近似度。 本文通过在MPC模型的ildeO(log log n)轮次内给出一个恒定因子的近似度，对这个问题取得了强有力的进展。与基于树嵌入的方法必须支付Ω(log n)失真相比，我们的算法基于图形分布MST算法和几何空间划分的新组合。此外，尽管我们返回的近似MST可能有较大深度，但我们证明它可以修改为在MPC模型中对欧几里得旅行商问题（Euclidean Traveling Salesman Problem，TSP）进行恒定因子近似度的ildeO(log log n)轮次。先前，此问题只有O(log n)轮次的解法。
作者：Rajesh Jayaram, Vahab Mirrokni, Shyam Narayanan, Peilin Zhong
论文ID：2308.00503
分类：Data Structures and Algorithms
分类简称：cs.DS
提交时间：2023-08-02