从较小的团中列出团
摘要：图中查找和列举$k$-cliques，对于常数$k \geq 3$是一个既有理论重要性又有实际重要性的基本问题。我们的主要贡献是一个新的输出敏感算法，用于列举图中的$k$-cliques，对于任意$k \geq 3$，结合基于标准细粒度假设的下界，证明了我们算法的运行时间是紧密的。先前，唯一已知存在条件上最优的输出敏感算法是针对$3$-cliques的[ICALP'14]的Bj"{o}rklund、Pagh、Vassilevska W.和Zwick的案例。 子图同构或列举问题的典型输入是通过节点数$n$或边数$m$来衡量的。我们的框架是非常通用的，它提供了度量图中$ell$-cliques数量$Delta\_ell$的$k$-clique列举算法的运行时间，其中$1 \leq ell < k$。这将一般化为以$n$（$1$-cliques的数量）和$m$（$2$-cliques的数量）为参数化的典型情况。 如果矩阵乘法指数$omega$为$2$，并且输出的大小$Delta\_k$足够大，则对于每个$ell < k$，我们列举$k$-cliques的算法的运行时间为 $$ ilde{O}\left(Delta\_ell^{frac{2}{ell (k - ell)}}Delta\_k^{1-frac{2}{k(k-ell)}}\right).$$ 对于足够大的$Delta\_k$，我们证明在Exact $k$-Clique假设下，这个运行时间实际上是{em最优的}，对于所有$1 \leq ell < k$。 对于$k = 4$和$5$的特殊情况，如果$omega = 2$，我们的算法在$n$方面对于所有$Delta\_k$的值都是条件上最优的。此外，根据$m$的函数，我们的框架足够强大，可以改进$4$和$5$-clique在$m$条边图中的检测19年的运行时间[Eisenbrand和Grandoni，TCS'04]。
作者：Mina Dalirrooyfard, Surya Mathialagan, Virginia Vassilevska Williams, Yinzhan Xu
论文ID：2307.15871
分类：Data Structures and Algorithms
分类简称：cs.DS
提交时间：2023-08-01