一个紧致的蒙特卡洛算法：以团宽参数化的Steiner树
摘要：连接的顶点覆盖和连接的支配集问题的固定渗透性。此外，根据强指数时间假设，这些结果被证明是严格的。然而，他们留下了一些重要的基准问题，其相对于树宽的复杂性已经由Cygan等人解决。其中一个是斯坦纳树问题。作为一个关键的障碍，他们指出了某些兼容性矩阵的秩和其中的最大三角子矩阵之间的指数差距，这通常用于算法，而其中的最大三角子矩阵对于当前的下界方法至关重要。具体来说，对于斯坦纳树问题，GF(2)秩是$4^k$，而不知道任何大于$3^k$的三角子矩阵。这导致时间为$4^kn^{O(1)}$，而在强指数时间假设相对于路径宽度已知情况下，不可能获得时间$(3-\varepsilon)^kn^{O(1)}$。 我们通过展示斯坦纳树可以在给定的$k$-团表达式的时间内解决为$3^kn^{O(1)}$，从而填补了这一差距。因此，对于介于切割宽度和团宽度之间的所有参数，其复杂性相同。我们首先证明了存在一个GF(2)-秩为$3^k$的“代表子矩阵”（排除了更大的三角子矩阵）。乍一看，这只允许在此期间计算（模2）有效解的表示数，但不能计算解的数目（即使存在唯一解）。我们展示了如何通过隔离唯一解的唯一代表来克服这个问题，如果存在唯一解的话。我们相信我们的方法对于解决这个研究计划中的其他开放问题将是有帮助的。
作者：Narek Bojikian and Stefan Kratsch
论文ID：2307.14264
分类：Data Structures and Algorithms
分类简称：cs.DS
提交时间：2023-07-27