关于四元数和八元数对数沿曲线的延续及绕数
摘要：在一条路径上找到超复数对数的连续延拓的问题研究 沿着路径，在严格负实点的一个小开邻域内可以定义出复对数的一个分支， 但是无法在包含严格负实点$x_0$的任何开集合$A\subset \mathbb{K}\setminus\{0\}$中定义超复数对数的连续分支。 为了克服这些困难，我们引入了对数流形 $\mathscr{E}_{\mathbb{K}}^+$， 然后证明如果$q\in\mathbb{K}$，即$q=x+Iy$，那么$E(x+Iy) = (\exp(x+Iy), Iy) = (\exp x\cos y +I\exp x\sin y, Iy)$是$\mathbb{K}$和$\mathscr{E}_{\mathbb{K}}^+$之间的一个浸入和微分同胚。 在本文中，我们考虑将路径在$\mathbb{K}\setminus\{0\}$上提升到对数流形$\mathscr{E}_{\mathbb{K}}^+$上； 尽管$\mathbb{K}\setminus\{0\}$是单连通的，但一般而言，在给定的$\mathbb{K}\setminus\{0\}$上的一条路径的提升到$\mathscr{E}_{\mathbb{K}}^+$的存在并不能保证。 在$\mathbb{K}\setminus\{0\}$上提升路径的问题与在这条路径上找到超复数对数$log_{\mathbb{K}}$的延拓的问题是明显等价的。
作者：Graziano Gentili, Jasna Prezelj, Fabio Vlacci
论文ID：2307.14047
分类：Complex Variables
分类简称：math.CV
提交时间：2023-07-27