扩展特殊线性群与矩阵群中的平方根$SL_2(\mathbb{F}_p)$，$SL_2(\mathbb{Z})$，$ESL_2(\mathbb{F}_p)$，$ESL_2(\mathbb{Z})$和$GL_2(\mathbb{F}_p)$。
摘要：扩展特殊线性群$ESL\_2(F)$是在任意域$F$上矩阵群$SL\_2(F)$的推广。扩展特殊线性群$ESL\_2(k)$，其中$k$是任意完美域，是$ESL\_2(k)$中所有的矩阵平方根的存储。我们找到了$SL\_2(\mathbb{F}_p)$，$ESL\_2(\mathbb{F}_p)$中2阶、3阶和4阶幂的平方根的解析公式，对于任意素数$p$，以及在$SL\_2(\mathbb{Z})$，$ESL\_2(\mathbb{Z})$和$SL\_2(k)$，$ESL\_2(k)$中的情况。我们找到并研究了存储$SL\_2(\mathbb{F}_p)$中平方根的新线性群。我们建立了矩阵的根存在的标准，包括简单和半简单矩阵从$SL\_2(\mathbb{F}_p)$，$SL\_2(\mathbb{Z})$中。本文解决了存在于$SL\_2(F\_p)$，$SL\_2(F\_p)$和$GL\_2(F\_p)$中的群元素平方根的问题，其中$p$是任意素数。在GM算法中的类似目标是通过连接生成元的$n$次根来找到的cite{GM}，但我们在有限域$F\_p$上考虑了这个问题。我们的方法通过使用$M$的迹或者只使用$M$的特征值来确定$sqrt{ M^n}$是否存在，而无需把$M$求$n$次幂。在cite{Amit}中，只考虑了群$SL\_1(Q)$的各向异性情况，其中$Q$是域$k$上的四元数除数代数。cite{Amit}的作者认为，只有对于特征不等于2的域$F\_p$才存在等式$g in SL\_2 (F\_2)$在$SL\_2(F\_2)$中的情况，但我们解决了这个问题，甚至对于域$F\_2$和$F\_{2^n}$也成立。我们考虑了更一般情况cite{SkSq}，即整个群$G= SL\_2(F\_q)$。
作者：Ruslan Skuratovskii
论文ID：2307.13873
分类：Group Theory
分类简称：math.GR
提交时间：2023-08-07