具有$S^1$对称性的四维可积系统家族
摘要：将可解系统的家族提升到Hamiltonian $S^1$空间的目的是提供对该问题的新见解。具体而言，我们研究了具有固定Hamiltonian $S^1$空间$(M, \omega, J)$的一参数家族$(M^4, \omega, F_t = (J, H_t))_{0 \leq t \leq 1}$，并且对于参数$t$的某些值，这些系统是半拓扑的，重点是那些在一个奇异点发生Hamiltonian-Hopf分叉的家族（也称为在半拓扑系统中的结点交换，更一般地称为近似环面纤维）。除了半拓扑系统，我们还研究了包含超半拓扑系统的家族，并且我们研究了结点交换的局部性质。基于和推广了先前论文中的思路，我们展示了如何利用这样的家族来找到具有特定不变量（捆绑在标记的半拓扑多边形中）的显式半拓扑系统。这使得我们能够通过理解和构造每个严格极小类型的显式系统（即那些不包含任何环面或半拓扑类型消失的系统）来在半拓扑极小模型计划中取得进展。为了获得这些系统，我们开发了构造和理解常规半拓扑（和超半拓扑）系统的策略。我们使用的一种策略是从一个被很好理解的系统（如环面系统）开始，并明确地引发Hamiltonian-Hopf分叉以产生焦点-焦点奇异点。这是前述先前论文中使用的技术的扩展版本，以将其应用于包含非平凡同构球（即$\mathbb{Z}_k$-球）的半拓扑系统中，这种情况在几个严格极小系统中出现。特别地，我们给出了一个在$mathbb{CP}^2$上的显式一参数系统家族，该家族在参数值的不同情况下可以过渡为环面类型、半拓扑类型和超半拓扑类型。我们在每个阶段研究了这个系统，计算了半拓扑系统的标记半拓扑多边形，并确定了超半拓扑系统的几个性质，包括独特鼓翼和两个抛物轨道的存在。此外，我们还研究了这些阶段之间的过渡。我们还提出了在所有Hirzebruch曲面上的新显式半拓扑系统，结合先前的系统和已有文献中的系统，为每种严格极小系统都给出了一个显式模型。此外，我们展示了如何通过对简单显式系统应用交替的环面类型的增加和消除操作来获得每个严格极小系统。特别地，我们得出了每个严格极小半拓扑系统都是一个在几个$t$值上都是半拓扑的家族$(M, \omega, F_t = (J, H_t))$的一部分，其中$t$的可能值只有有限个，这被称为半拓扑系列。
作者：Yohann Le Floch (IRMA), Joseph Palmer (Antwerp)
论文ID：2307.10670
分类：Symplectic Geometry
分类简称：math.SG
提交时间：2023-07-21