$(P\_k, P\_ell)$-箭化的复杂性
摘要：$(P_k, P_\ell)$-Arrowing 问题的固定非负整数 $k$ 和 $\ell$，询问一个给定的图 $G$ 是否有一个红/蓝边的着色，使得没有红色的 $P_k$ 和没有蓝色的 $P_\ell$。当 $max(k, \ell) \leq 3$ 时，问题是平凡的，但已经证明了当 $k = \ell = 4$ 时是 coNP-complete 的。在这项工作中，我们证明了该问题对所有 $k$ 和 $\ell$ 的配对（除了 $(3,4)$）以及 $max(k, \ell) \leq 3$ 仍然是 coNP-complete 的。我们的结果是 $(F, H)$-Arrowing 问题的第二个对于无穷图族的困难性结果，也是第一个对于 1-连通图的困难性结果。先前的 $(F, H)$-Arrowing 的困难性结果依赖于构造避免创建太多 $F$ 和 $H$ 副本的图，以便更容易分析约化。而对于路径来说，这显然是不可避免的，因此需要更加谨慎的方法。我们定义并证明了一种称为“传输器”的特殊图的存在。利用传输器，我们为三种不同的情况构造了工具：1）$k = 3$ 且 $\ell \geq 5$，2）$\ell > k \geq 4$，以及 3）$\ell = k \geq 4$。对于 $(P_3, P_4)$-Arrowing，我们通过将问题约化为 2SAT 展示了一个多项式时间算法，从而成功地对所有 $(P_k, P_\ell)$-Arrowing 问题的复杂性进行分类。
作者：Zohair Raza Hassan, Edith Hemaspaandra, Stanis{l}aw Radziszowski
论文ID：2307.10510
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2023-07-21