通过L0-Proximity解决小物品的背包问题
摘要：伪多项式时间算法对基本的0-1背包问题进行了研究。以$n$和$w_{max}$为参数，以前的0-1背包算法的时间复杂度为立方阶：$O(n^2w_{max})$（Bellman 1957），$O(nw_{max}^2)$（Kellerer和Pferschy 2004）和$O(n + w_{max}^3)$（Polak，Rohwedder和Wk{e}grzycki 2021）。另一方面，在精确复杂性中，只排除了$O((n+w_{max})^{2-delta})$的运行时间，因此在这个领域中，$O(n+w_{max}^2)$的运行时间是否可行是一个重要问题。我们的主要结果在解决这个问题方面取得了重大进展： - 0-1背包问题有一个确定性算法，在$\tilde{O}(n+w_{max}^{2.5})$时间内解决。我们的技术还适用于更简单的子集和问题： - 子集和问题有一个概率算法，在$\tilde{O}(n+w_{max}^{1.5})$时间内解决。这改进了（并简化了）Polak，Rohwedder和Wk{e}grzycki (2021)基于Galil and Margalit (1991)和Bringmann和Wellnitz (2021)的$\tilde{O}(n+w_{max}^{5/3})$时间算法。类似于最近对背包问题的研究（以及整数规划问题的一般性），我们的算法也利用了最优整数方案和分数方案之间的相似性。我们的新想法如下： - 以前的工作在$ell\_1$-范数中使用了$O(w_{max})$的相似性上界。作为我们主要的概念贡献，我们使用ErdH{o}s和S''{a}rk"{o}zy (1990)的可加组合定理推导出了$ell\_0$-相似性上界为$\tilde{O}(\sqrt{w_{max}})$。 - 然后，我们背包问题的主要技术组成部分是利用$ell\_0$和$ell\_1$-相似性的动态规划算法。它基于Deng、Mao和Zhong (2023)为更简单的无界设置设计的“证据传播”方法的广泛扩展。
作者：Ce Jin
论文ID：2307.09454
分类：Data Structures and Algorithms
分类简称：cs.DS
提交时间：2023-08-10