二分图和完全图中预算最大权独立集的严格界限
摘要：对于经典的有预算的最大权重独立集（BMWIS）问题，我们考虑了这个问题。输入是一个图$G=(V,E)$，一个权重函数$w:V \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$，一个费用函数$c:V \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$，和一个预算$B \in \mathbb{R}_{\geq 0}$。目标是找到一个图$G$中的独立集$S \subseteq V$，使得$\sum_{v \in S} c(v) \leq B$，并且最大化所有顶点的权重之和$\sum_{v \in S} w(v)$。由于这个问题对于通常的图不能被近似到比任意的$|V|^{1-\varepsilon}$的比例，BMWIS在一些可以在多项式时间内计算最大权重独立集的图族中引起了很大的关注。其中两个著名的图族是二分图和完美图。已知在这两个图族中BMWIS都是NP-hard问题，然而，这些图上的最佳近似保证仍然未知。在本文中，我们给出了完美图和二分图上BMWIS的紧密的2近似算法。特别地，我们基于小集合扩展假设（SSEH）为二分图上的BMWIS问题提供了一个$(2-\varepsilon)$的下界，即使是在特殊情况下预算被基数约束替代。对于上界，我们使用基于拉格朗日松弛的技术为完美图上的BMWIS问题设计了一个2近似算法。最后，我们得到了容量最大权重独立集（CMWIS）问题的一个紧密下界，即当$w(v) = c(v)$对于图中的所有顶点$v \in V$时的特殊情况。我们证明，在二分图和完美图上的CMWIS问题不太可能存在一个高效的多项式时间近似方案（EPTAS）。因此，现有的CMWIS的PTAS基本上是我们可以期望的最佳算法。
作者：Ilan Doron-Arad and Hadas Shachnai
论文ID：2307.08592
分类：Data Structures and Algorithms
分类简称：cs.DS
提交时间：2023-07-18