曲线的$(1+\varepsilon)$-近似最近邻数据结构：通过有界倍增维度的子空间
摘要：在$d$维空间中，以Frechet距离为基础，我们考虑多边形曲线的$(1+\epsilon)$-近邻问题，并询问已知的对于倍增空间的数据结构在这个问题中能够应用到什么程度。起初，这种方法似乎是行不通的，因为目标空间的倍增维度被认为是无界的——即使对于一维中复杂度为常数的良好行为的多边形曲线。为了克服这个问题，我们确定了一个曲线子空间，它具有有界的倍增维度和与目标空间的小Gromov-Hausdorff距离。然后，我们应用了最先进的倍增空间技术，并展示了如何为任何一组参数化多边形曲线获得一个$(1+\epsilon)$-近邻问题的数据结构。构建数据结构所需的预处理时间的期望是$F(d,k,S,\epsilon)n\log n$，使用的空间是$F(d,k,S,\epsilon)n$，查询时间是$F(d,k,S,\epsilon)\log n + F(d,k,S,\epsilon)^{-\log(\epsilon)}$，其中$F(d,k,S,\epsilon)=O\left(2^{O(d)}k\Phi(S)\epsilon^{-1}\right)^k$，而$\Phi(S)$表示曲线中顶点和边的集合的展宽。我们将这些结果扩展到了现实中的$c$-packed曲线类，并展示了对于小的$c$值来说改进的界限。
作者：Jacobus Conradi, Anne Driemel and Benedikt Kolbe
论文ID：2307.08521
分类：Computational Geometry
分类简称：cs.CG
提交时间：2023-07-18