特殊情况下的能量博弈的快速算法
摘要：能量游戏的特殊情况的算法研究: 对于图中出现在反应系统的定量分析中的转换游戏的一个类别，我们研究了能量游戏的算法。在一个能量游戏中，加权有向图的顶点属于Alice或Bob。通过控制当前位置的玩家将一个令牌移动到下一个顶点，并且其能量会因边的权重而改变。给定一个固定的起始顶点和初始能量，如果令牌的能量在每一时刻保持非负，Alice赢得游戏。如果能量在某一时刻降为零以下，那么Bob赢得游戏。确定能量游戏的获胜者的问题属于$NP \cap coNP$问题。是否存在用多项式时间解决此问题的算法是一个长期存在的开放问题。我们设计了三种特殊情况的新算法。前两个结果集中在单人版本，其中Alice或Bob控制整个游戏图。我们通过将其规约到All-Pairs Nonnegative Prefix Paths问题(APNP)获得了一个由Alice控制的游戏图的$O(n^\omega W^\omega)$时间复杂度算法，其中W是最大权重，而$\omega$是矩阵乘法的最佳指数。因此，我们单独研究了APNP问题，为其开发了一个$O(n^\omega W^\omega)$的时间复杂度算法。对于这两个问题，我们都超过了小W的现有水平$O(mn)$. 对于APNP问题，我们还提供了一个条件下界，即除非APSP假设失败，否则没有$O(n^{3-epsilon})$的时间复杂度算法用于任何$epsilon> 0$. 对于由Bob控制的游戏图，我们得到了一个近线性时间的算法。关于我们的第三个结果，我们提出了一种值迭代算法的变体，并且我们证明它为没有负循环的游戏图提供了一个$O(mn)$的时间复杂度算法。
作者：Sebastian Forster, Antonis Skarlatos, Tijn de Vos
论文ID：2307.08442
分类：Data Structures and Algorithms
分类简称：cs.DS
提交时间：2023-07-19