关于随机查询复杂度和近似度的组合
摘要：布尔函数 $f$ 和 $g$ 的复合问题，即 $R(f \circ g) = \tilde{\Theta}(R(f)R(g))$ 的随机查询复杂性问题和近似程度的复合问题，即 $ \tilde{\text{deg}}(f \circ g) = \tilde{\Theta}(\tilde{\text{deg}}(f) \cdot \tilde{\text{deg}}(g))$ 是两个最重要且广泛研究的问题，然而至今我们还没有令人满意的答案。 已知在外函数 $f$（或内函数 $g$）具备各种属性的假设下，这些度量是可以复合的。本文拓展了能使 $R$ 和 $\tilde{\text{deg}}$ 复合的外函数的范围。 最近的一个重要结果（Ben-David and Blais, 2020）证明了 $R(f \circ g) = \Omega(\text{noisyR}(f) \cdot R(g))$。这意味着当 $ \text{noisyR}(f) = \tilde{\Theta}(R(f))$ 时，复合成立。我们给出了两个结果： （1）当 $R(f) = \Theta(n)$ 时，$\text{noisyR}(f) = \Theta(R(f))$。 （2）如果 $R$ 相对于外函数是可复合的，则 $\text{noisyR}$ 相对于同样的外函数也是可复合的。而至我们所知，没有任何类似形式的结果可知，即 $\tilde{\text{deg}}(f \circ g) = \Omega(M(f) \cdot \tilde{\text{deg}}(g))$（对于某个非平凡的复杂度度量 $M(\cdot)$）。 我们证明了以下结论： $\tilde{\text{deg}}(f \circ g) = \tilde{\Omega}(\sqrt{\text{bs}(f)} \cdot \tilde{\text{deg}}(g))$， 其中 $\text{bs}(f)$ 是 $f$ 的块敏感度。这意味着当 $\tilde{\text{deg}}(f)$ 渐近地等于 $\sqrt{\text{bs}(f)}$ 时，$\tilde{\text{deg}}$ 是可复合的。 已知当外函数是对称的时，$R$ 和 $\tilde{\text{deg}}$ 都是可复合的。我们还将这些结果推广到外函数相对于更弱的对称性的情况。
作者：Sourav Chakraborty, Chandrima Kayal, Rajat Mittal, Manaswi Paraashar, Swagato Sanyal, Nitin Saurabh
论文ID：2307.03900
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2023-07-12