定向的泊松不等式和L^1范数单调性测试的Lipschitz函数
摘要：有向等周不等式与单调性测试之间的关系是我们研究的对象。最近几年，这种关联已经为在离散域上定义的函数的单调性测试带来了突破。受到连续环境中等周不等式的丰富历史的启发，我们认为研究有向等周性与单调性之间的关系对于理解这种关联的全部范围是必要的。 因此，我们问是否有向等周不等式成立于函数 $f : [0,1]^n \to \mathbb{R}$，并且这个问题是否对单调性测试有影响。我们对这两个问题都作出肯定回答。对于Lipschitz函数 $f : [0,1]^n \to \mathbb{R}$，我们证明了不等式 $d^{\mathsf{mono}}_1(f) \lesssim \mathbb{E}\left[|\nabla^- f|_1\right]$，该不等式通过其“有向梯度”的度量上界了 $f$ 的到单调性的 $L^1$ 距离。我们证明中的一个关键环节是 $f$ 的单调重排，它将经典的“排序运算符”推广到连续环境。我们利用这个不等式给出了一个 $L^1$ 单调性测试器，适用于Lipschitz函数 $f : [0,1]^n \to \mathbb{R}$，该框架还暗示了在超立方体上测试实值函数的类似结果。
作者：Renato Ferreira Pinto Jr
论文ID：2307.02193
分类：Data Structures and Algorithms
分类简称：cs.DS
提交时间：2023-07-06