修剪草坪问题：从代数到算法
摘要：割草问题为给定的多边形区域P，要求找到一条最短的路径T，使得路径上的每个点到P的欧氏距离都不超过1/2；这等价于找到一条最短路径，使得路径上的单位直径刀具C覆盖住P的所有部分。作为旅行商问题的一种推广，割草问题是NP难的；然而，与离散的旅行商问题不同，割草问题由于组合复杂性和连续几何的结合而难以找到精确解决方案。 我们提出了一些新的研究成果，揭示了相关困难的本质，并提供了能够在理论和实践中取得进展的积极结果。(1) 我们证明了割草问题在代数上是困难的：即使在P是一个2x2的正方形的简单情况下，也不能通过有理数域上的根式求解。这意味着无法在依赖于基本算术运算和提取k次根的计算模型下计算出精确的最优解，也解释了为什么这个问题看起来很难解决。(2)我们利用这个代数分析对于边平行于坐标轴且顶点为整数的多边形（即拼块）进行了研究，凸显了最小转向代价对于割草路径的重要性，并提出了一种通用的构造方法来寻找可行的路径。(3)我们证明了这种构造方法对于拼块有理论最坏情况保证，改进了以前的逼近因子。(4)我们通过在一系列更一般的基准多边形上进行实际研究，展示了这种构造方法的实际实用性：我们得到的解决方案比先前由Fekete等人提出的最佳值更好，例如实例大小高达20倍。
作者：S''andor P. Fekete, Dominik Krupke, Michael Perk, Christian Rieck and Christian Scheffer
论文ID：2307.01092
分类：Computational Geometry
分类简称：cs.CG
提交时间：2023-07-04