广义Chazy微分方程中周期轨道构成的圆柱存在性
摘要：广义Chazy微分方程对应于以下两个参数的微分方程族： \begin{equation*}\label{gcdeq} \dddot x+|x|^q \ddot x+\frac{k |x|^q}{x}\dot x^2=0 \end{equation*} 其中，其正则性随着$q$的变化而变化，$q$是一个正整数。事实上，当$q=1$时，它在直线$x=0$上是不连续的，而对于正偶数$q$，它是多项式的，对于$q>1$的正奇数，它在直线$x=0$上是连续但不可微的。在1999年，关于广义Chazy微分方程存在周期解的数值观察发现了$q=2$和$k=3$的情况。在本文中，我们通过分析证明了这种周期解的存在性。我们的策略可以建立充分条件，确保广义Chazy微分方程在$k=q+1$和任意正整数$q$的情况下实际上具有一个被周期解覆盖的不变拓扑圆柱体在$(x, \dot x, \ddot x)$-空间中。为了阐述我们方法的基础，我们首先考虑$q=1,2,3$，它们代表了不同正则性的类别。对于任意正整数$q$，我们提供了一个用于检查这种不变圆柱体存在的充分条件的算法，我们推测这个算法始终存在。该算法已经成功应用到$q=100$的情况中。
作者：Jaume Llibre, Douglas D. Novaes, Claudia Valls
论文ID：2307.00087
分类：Dynamical Systems
分类简称：math.DS
提交时间：2023-07-04