多面体逼近的最优区域敏感界限
摘要：以欧几里得球的形状为界，近似凸体是几何学中一个基本的问题，有广泛的应用。给定直径为$Delta$的凸体$K$在固定维度$d$的$mathbb{R}^d$空间中，目标是在给定Hausdorff误差$varepsilon$的情况下，使近似的多面体的顶点数（或者面数）最小化。迄今为止最好的均匀界限，由Dudley (1974)得出，表明$O((Delta/varepsilon)^{(d-1)/2})$个面足够。尽管这个界限在欧几里得球的情况下是最优的，但对于“苗条”凸体来说远非最优。 以凸体相对于欧几里得球的关系来刻画凸体的薄度是一种自然的方式。给定凸体$K$，定义其表面直径$Delta_{d-1}$为具有相同表面积的欧几里得球的直径。根据等周不等式的推广，有$Delta\geq Delta_{d-1}$。 我们证明，假设凸体在任何方向上的宽度至少为$varepsilon$，可以使用$O((Delta_{d-1}/varepsilon)^{(d-1)/2})$个面来近似凸体。这个界限从不劣于先前的界限，并且对于苗条的凸体可能会显著改善。这个界限是紧的，因为对于任何$Delta_{d-1}$的值，存在凸体，除了常数因子外，需要这么多个面。 改进来自于对凸体边界上采样点的新方法。我们运用凸性理论中的一个经典概念，称为Macbeath区域。我们证明了在$K$和$K$的极线的Macbeath区域的行为非常类似于极对。然后，我们应用已知的Mahler体积的结果来限制它们的数量。
作者：Sunil Arya and Guilherme D. da Fonseca and David M. Mount
论文ID：2306.15648
分类：Computational Geometry
分类简称：cs.CG
提交时间：2023-06-28