四元数对称空间和扭曲空间的Cartan-Helgason定理
摘要：复四元对称配对$(\mathfrak{g}, \mathfrak{k})$中，$\mathfrak{k}$含有一个理想$\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$，$\mathfrak{k}=\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})+\mathfrak{m}_c$。考虑表示$S^m(\mathbb{C}^2)=\mathbb{C}^{m+1}$关于通过投影到理想$\mathfrak{k} \to \mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$的作用。我们研究有限维不可约表示$V(\lambda)$关于$S^m(\mathbb{C}^2)$在$\mathfrak{k} \subseteq \mathfrak{g}$下的包含情况。给出了所有这样的表示$V(\lambda)$的特征，并找到相应的重数$m(\lambda, m)=\dim \operatorname{Hom}(V(\lambda)|_{\mathfrak{k}},S^m(\mathbb{C}^2))$。我们还考虑了$V(\lambda)$在$\mathfrak{l}=\mathfrak{u}(1)_{\mathbb{C}} + \mathfrak{m}_c \subseteq \mathfrak{k}$下的分支问题，并找到了重数。几何上，Lie子代数$\mathfrak{l} \subseteq \mathfrak{k}$定义了紧致实形式$G_c$的紧对称空间上的扭子空间， $\operatorname{Lie}(G_{\mathbb{C}})=\mathfrak{g}$，我们的结果给出了对称空间上的某些向量丛的$L^2$-截面和扭子空间上的线丛的分解。这推广了Cartan-Helgason关于对称空间$(\mathfrak{g}, \mathfrak{k})$和Schlichtkrull关于Hermitian对称空间中考虑一维表示的定理。
作者：Clemens Weiske, Jun Yu, Genkai Zhang
论文ID：2306.15090
分类：Representation Theory
分类简称：math.RT
提交时间：2023-06-28