Turán-ErHód类型不等式在$L^q(K, \mu)$中的最优常数的增长顺序
摘要：关于多项式$p$在复平面上紧致集合$K$上的最大范数导数的下界估计问题，Tur''{a}n在1939年提出了这个问题，并在$p$的零点都落在$K$上的标准化条件下进行了研究。Tur''{a}n研究了区间$I=[-1,1]$和单位圆盘$D$的问题，并发现当$p$的次数$n$趋向于无穷大时，最小可能导数范数（振荡顺序）的精确增长顺序为$I$的$\sqrt{n}$和$D$的$n$。ErH{o}d继续了Tur''{a}n的研究，考虑了其他域。最后，Hal''{a}sz和R''{e}v''{e}sz在2006年证明了对于所有紧凸域，导数最大范数的增长顺序都是$n$。 虽然Tur''{a}n本人对上述振荡问题在$L^q$范数中给出了评论，但直到最近我们只能得到$D$和$I$的结果。最近，我们发现了针对几个一般的紧凸域的$n$阶下界估计，并证明了对于所有紧凸域，振荡顺序在$L^q$范数中至少为$n/\log n$。在本文中，我们证明了对于所有紧凑（不一定是凸）域$K$以及任意支撑在$K$上的两个以上点的测度，振荡顺序不大于$n$。
作者：P. Yu. Glazyrina, Yu. S. Goryacheva and Sz. Gy. R''ev''esz
论文ID：2306.14315
分类：Classical Analysis and ODEs
分类简称：math.CA
提交时间：2023-06-27