$U$-拓扑和$m$-拓扑在可测函数环上的应用，广义和重审
摘要：在可测空间$(X,mathcal{A})$上，$mathcal{M}(X,mathcal{A})$是由所有定义在上面的实值可测函数构成的环。给定一个$I$的理想$mathcal{M}(X,mathcal{A})$和一个度量μ：$mathcal{A}→[0,∞]$，我们引入了$U\_mu^I$-拓扑和$m\_mu^I$-拓扑在$mathcal{M}(X,mathcal{A})$上作为$U$-拓扑和$m$-拓扑的泛化版本。当$I=mathcal{M}(X,mathcal{A})$时，这两个拓扑分别缩减为以前已经考虑过的$U_mu$-拓扑和$m_mu$-拓扑在$mathcal{M}(X,mathcal{A})$上。如果$I$是在$mathcal{M}(X,mathcal{A})$中生成的可数理想，则$U\_mu^I$-拓扑和$m\_mu^I$-拓扑相等当且仅当$X∖∩Z[I]$是$mu$-有界子集。在$U\_mu^I$-拓扑和$m\_mu^I$-拓扑中，$0$的分量是由$I∩L^∞(X,mathcal{A},mu)$和$I∩L\_psi(X,mathcal{A},mu)$分别实现的。这里$L^∞(X,mathcal{A},mu)$是所有在$X$上本质上为$mu$-有界函数的集合，$L\_psi(X,mathcal{A},mu)={fin mathcal{M}(X,mathcal{A}): ~forall ginmathcal{M}(X,mathcal{A}), f.gin L^∞(X,mathcal{A},mu)}$。证明了在$U\_mu$-拓扑中，理想$I$在$mathcal{M}(X,mathcal{A})$中是稠密的当且仅当在$m\_mu$-拓扑中也是稠密的，并且当且仅当存在$Zin Z[I]$使得$mu(Z)=0$。此外，证明了$I$在$m\_mu$-拓扑中是闭的，当且仅当它是$Z\_mu$-理想，即如果$在$X$上几乎处处等价于$fin I$而$ginmathcal{M}(X,mathcal{A})$，则$gin I$。
作者：Pratip Nandi, Atasi Deb Ray and Sudip Kumar Acharyya
论文ID：2306.03768
分类：General Topology
分类简称：math.GN
提交时间：2023-06-07