伯恩斯坦集的超穷直径的新估计
摘要：紧致集合$K \subset \mathbb{C}^n$满足以下伯恩斯坦不等式：对于任意$m \in \{1, \dots, n\}$以及任意$m$阶多项式$P(z) \in \mathbb{C}[z_1, \dots, z_n]$，存在一个只依赖于$K$的正常数$M= M(K)>0$，使得对任意$z \in K$有： $$ \left|\frac{\partial P}{\partial z_m}(z) \right| \leq M \cdot \text{deg}(P) \cdot \max_{z \in K}|P(z)|. \quad \text{其中}z = (z_1, \dots, z_n). $$ 我们证明$K$的特征直径$\delta(K)$满足以下下界估计： $$ \delta(K) \geq \frac{1}{n M}, \quad \text{这是在一维情况下最优的。} $$ 此外，我们证明如果$K$是一组紧平面集的笛卡尔积，则有： $$ \delta(K) \geq \frac{1}{M}. $$
作者：Dimitri Jordan Kenne
论文ID：2306.00216
分类：Complex Variables
分类简称：math.CV
提交时间：2023-06-02