雅可比算子具有递增系数的谱理论。关键情况
摘要：Jacobi算法的谱特性与相应的正交多项式在$n\to \infty$时的渐近行为密切相关。我们研究了当Jacobi算子$J$的非对角系数$a_n$和对角系数$b_n$以一定方式趋向于无穷大时的情况，其中比值$\gamma_n:=2^{-1}b_n (a_na_{n-1})^{-1/2}$有一个有限极限$\gamma$。当$| \gamma | < 1$时，我们研究了Jacobi递归系数$a_n$（非对角项）和$b_n$（对角项）定义的正交多项式$P_n(z)$在$n\to \infty$时的渐近行为。具体考虑了$a_n \to \infty$的情况，并假设序列$\gamma_n:=2^{-1}b_n (a_na_{n-1})^{-1/2}$在$n\to \infty$时有极限$\gamma$。当$| \gamma | < 1$时，$P_n(z)$的渐近公式推广了Hermite多项式的情况，相应的Jacobi算子$J$的谱完全连续覆盖整个实数线。如果$| \gamma | > 1$，则Jacobi算子$J$的谱是离散的。我们的目标是研究临界情况$| \gamma | =1$，例如Laguerre多项式。所得的公式关键取决于系数$a_n$（或$b_n$）的增长速度，并且在$a_n$增长快于或慢于$n$的情况下有不同的性质。对于$a_n$的快速增长，还需要区分$| \gamma_n | \to 1-0$和$| \gamma_n | \to 1+0$的情况。所有这些情况下，相应的Jacobi算子的谱特性都非常不同。我们的方法适用于Jacobi系数的任意幂次增长。
作者：D. R. Yafaev
论文ID：2305.19680
分类：Classical Analysis and ODEs
分类简称：math.CA
提交时间：2023-06-01