产品空间中的提升分裂
摘要：概率度空间$(X, \mathfrak{A}, P)$和$(Y, \mathfrak{B}, Q)$上的斜积$R$在乘积σ-代数$\mathfrak{A} \otimes \mathfrak{B}$上，同时，$\{\mathfrak{A}_y, S_y\}$是$R$的$Q$-分解（如果对于每个$y \in Y$，$\mathfrak{A}_y = \mathfrak{A}$，则我们得到关于$Q$的正则条件概率），$ \mathfrak{C}$是$\mathfrak{A} \cap \bigcap_{y \in Y} \mathfrak{A}_y$的子σ-代数。对于$f \in L^{\infty}(R)$，我们研究了$Y$-截面$[ \mathbb{E}_{\mathfrak{C} \otimes \mathfrak{B}}(f) ]^y$（$f$关于$\mathfrak{C} \otimes \mathfrak{B}$的条件期望）与$f^y$关于$\mathfrak{C}$和$S_y$的条件期望之间的关系。此外，我们证明了在$mcL^{\infty}(\widehat{R})$上存在一个提升$pi$ ($\widehat{R}$是$R$的完备化），并且对于$y \in Y$存在提升$sigma_y$ 在$mcL^{\infty}(\widehat{S_y})$上，使得对于所有$y \in Y$和$f \in mcL^{\infty}(\widehat{R})$，有$ [pi(f)]^y = \sigma_y\left([pi(f)]^y\right) $。作为应用，我们给出了具有可测等价版本的随机过程的表征。
作者：Kazimierz Musial
论文ID：2305.19658
分类：Functional Analysis
分类简称：math.FA
提交时间：2023-06-01