关于限制的Falconer距离集
摘要：一个研究Falconer距离问题的新分类被引入，我们称之为受限类型，位于经典版本和固定版本之间。典型的受限距离集是对角距离集，它是由k个点组成的配置集，给定为$$\Delta^{diag}(E)=\{\|(x,x,\dots,x)-(y_1,y_2,\dots,y_{k-1})\| : x, y_1, \dots ,y_{k-1}\in E\}$$其中$E\subset\mathbb{R}^d$是紧致集合，$k\ge 3$。我们证明了如果$E$的Hausdorff维数满足$dim(E) > \begin{cases} \frac{2d+1}{3}, & k=3 \\ \frac{(k-1)d}{k}, & k\ge 4. \end{cases}$，那么$\Delta^{diag}(E)$具有非空内部。我们证明了这个结果可以推广到接近欧几里德度量的$C^\omega$黎曼度量$g$上。对于乘积度量，这可以从已知的固定距离集结果推出，但为了得出对于一般摄动$g$的结果，我们给出了一系列证明部分结果的证明步骤，最终基于多线性傅里叶积分算子的估计得到了完整结果的证明。
作者：Jos''e Gaitan, Allan Greenleaf, Eyvindur Ari Palsson, Georgios Psaromiligkos
论文ID：2305.18053
分类：Classical Analysis and ODEs
分类简称：math.CA
提交时间：2023-08-25