寻找树中缩小直径的捷径
摘要：$k$-直径最优增强树问题中，我们给定一个具有$n$个顶点的树$T$作为输入。该树嵌入在一个未知的度量空间中，并且我们可以无限次访问一个预知，该预知可以在常数时间内回答给定树$T$的两个不同顶点$u$和$v$的边$(u,v)$的代价。我们希望通过添加$k$个捷径来最小化结果图的直径。对于$k=1$，已知路径[Wang, CG 2018]和树[Bil`o, TCS 2022]的$O(n \log n)$时间算法。在本文中，我们研究了多个捷径的情况。我们证明对于$k \geq 3$的树而言，没有执行$o(n^2)$次查询的算法可以提供比$10/9$近似解更好的解。对于任意的正常数$\varepsilon > 0$，我们设计了一种线性时间$(1+\varepsilon)$-近似算法，适用于路径问题和$k = o(\sqrt{\log n})$，从而在$k \geq 3$的情况下建立了路径和树之间的二分法。我们通过设计一种特殊数据结构来实现所述的运行时间，该数据结构还作为树的线性时间$4$近似算法的关键组件，并且可以在$O(nk\log n)$的时间内计算具有$n+k-1$条边的图的直径，即使对于非度量图也可以。我们的数据结构和后一结果具有独立的兴趣。
作者：Davide Bil`o, Luciano Gual`a, Stefano Leucci, Luca Pep`e Sciarria
论文ID：2305.17385
分类：Data Structures and Algorithms
分类简称：cs.DS
提交时间：2023-05-30