非交换的Edmonds问题再次考虑
摘要：非交换变量 $x\_1, x\_2, \ldots, x\_n$ 上的矩阵 $T$ 的元素是线性形式。非交换Edmonds' 问题 (NSINGULAR) 的目标是确定在由 $x\_1, x\_2, \ldots, x\_n$ 生成的自由斜域中，矩阵 $T$ 是否可逆。目前，有三种不同的确定性多项式时间算法来解决这个问题：使用算子缩放 [Garg, Gurvits, Oliveira, and Wigserdon (2016)]，代数方法 [Ivanyos, Qiao, and Subrahmanyam (2018)]，和凸优化 [Hamada and Hirai (2021)]。 本文提出了一个简化的 NSINGULAR 问题算法。虽然我们的算法模板与Ivanyos等人(2018)中的模板相似，但在秩增加步骤的实现上有显著差异。我们不再计算第二个Wong序列的极限，而是将问题简化为非交换代数分支程序 (ABPs) 的多项式恒等式测试 (PIT)。 这使得我们能够在不需要特殊处理的情况下，限制算法在 $mathbb{Q}$ 上的位复杂度。此外，即使没有对 $T$ 中的系数矩阵进行显式描述，秩增加步骤也可以在准多项式时间内实施。这是通过利用与非交换 ABPs 的黑盒 PIT 的关联实现的 [Forbes and Shpilka (2013)]。
作者：Abhranil Chatterjee and Partha Mukhopadhyay
论文ID：2305.09984
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2023-05-18