符号行列式在一阶约束下的边界复杂度
摘要：VBP中可以通过形如$A_0 + \sum_{i=1}^n A_ix_i$的符号矩阵的行列式来计算的多项式族。每个$A_i$的大小多项式级别与变量数量相关，或者等价地，可以通过多项式大小的代数分支程序(ABP)计算。几何复杂性理论(GCT)中一个重要的未解问题是确定VBP是否在逼近下是封闭的。对于某些受限计算模型，如深度二电路、一次性无觉察ABP(ROABP)、单调ABP、有界顶部扇入深度三电路和宽度为二的ABP，我们很好地理解了逼近的能力。前三个类已知在逼近下是封闭的[Bl"{a}ser, Ikenmeyer, Mahajan, Pandey和Saurabh(2020)]，而最后一个类的逼近性封闭性涵盖了可以通过多项式大小的公式计算的所有多项式族[Bringmann, Ikenmeyer和Zuiddam(2017)]。 在本文中，我们考虑由形如$A_0 + \sum_{i=1}^n A_ix_i$的符号矩阵的行列式计算的VBP的子类，其中对于每个$1 \leq i \leq n$，$A_i$的秩为一。这个问题已经得到了广泛研究[Edmonds(1968), Edmonds(1979)]，已知存在高效的身份测试算法[Lov"{a}sz(1989)， Gurjar和Thierauf(2020)]。我们证明了这个类在逼近下是封闭的。用代数几何的语言来说，我们证明了通过从Grassmannian变量的Pl"{u}cker嵌入中取坐标逐个乘积得到的集合是封闭的。
作者：Abhranil Chatterjee, Sumanta Ghosh, Rohit Gurjar, Roshan Raj
论文ID：2305.09973
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2023-05-18