常深度电路与单调电路
摘要：单调和一般（非单调）布尔电路的动力之间建立了新的分离： - 对于每个$ k \geq 1 $，存在单调函数在${sf AC^0}$中需要深度为$ \Omega(\log^k n)$的单调电路。这显著扩展了Okol'nishnikova（1982）和Ajtai和Gurevich（1987）的经典结果。此外，我们的分离结果也适用于单调图属性，即使在${sf AC^0}$与${sf mAC^0}$的情况下，这也是未知的。 - 对于每个$ k \geq 1 $，存在单调函数在${sf AC^0}[ \oplus ]$中需要大小为$ \exp(\Omega(\log^k n)) $的单调电路。这对于Grigni和Sipser（1992）提出的一个问题提供了进展。 这些结果表明，在计算单调函数时，常数深度电路可以比单调电路更高效。 相反，我们观察到在没有奇偶门的情况下可以进行非平凡的模拟：由大小为$s$且深度为$d$的${sf AC^0}$电路计算的每个单调函数都可以由大小为$2^{n - n/O(\log s)^{d-1}} $的单调电路计算。我们证明了显著更快的单调模拟的存在会导致突破性的电路下界。特别地，如果${sf AC^0}$中的每个单调函数都能由多项式大小的单调电路计算，则${sf NC^2}$不包含于${sf NC^1}$。 最后，我们重新审视了我们对单调电路大小的分离结果，并研究了我们的方法的局限性，该方法基于G"o"os等人通过提升技术对约束满足问题建立的单调下界。通过调整Schaefer（1978）和Allender等人（2009）的结果，我们得到了布尔值CSP的单调电路复杂性的无条件分类。这个结果以及我们从中得出的结论可能具有独立的兴趣。
作者：Bruno P. Cavalar, Igor C. Oliveira
论文ID：2305.06821
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2023-05-12