基于网格的低度测试
摘要：低（常数）次数函数从一个产品域$S_1\times\ldots\times S_n$到一个域$\mathbb{F}$的局部可测试性问题进行了研究，其中$S_i\subseteq\mathbb{F}$可以是任意常数大小的集合。我们证明了当网格是“对称”的时候，这个家族是局部可测试的。也就是说，如果对于所有的$i$，$S_i=S$，存在一个使用常数次查询的概率算法来区分$f$是否有一个最高次数为$d$的多项式表示或者它是否离具有这一性质$Ω(1)$远。相反的，我们证明了存在具有$|S_1|=\ldots=|S_n|=3$的非对称网格，测试需要$ω_n(1)$次查询，从而确定即使在多项式的上下文中，局部测试也取决于域的结构而不仅仅是底层代码的距离。多年来，低次数测试问题已经得到了广泛的研究，并且已经应用了各种工具来提出和分析测试。我们的工作在这个丰富的领域中引入了一个新的联系，通过基于"junta-degrees"的测试构建低次数测试。一个定义为$f:{S_1}\times\ldots\times{S_n}\to{G}$的函数，对于一个阿贝尔群$G$，如果它是$d$-juntas的和，则称为junta-degree-$d$函数。我们通过提供一个新的关于junta-degree-$d$函数的局部测试来推导出我们的低次数测试。对于我们测试的分析，我们推导出了一个关于大网格上的球状噪声的小集合扩展定理，这可能是一个独立的感兴趣的课题。
作者：Prashanth Amireddy, Srikanth Srinivasan, Madhu Sudan
论文ID：2305.04983
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2023-05-10