将实数定义为预言机
摘要：真实数是一个规则，当给定有理区间时，根据真实数是否应该被认为在给定区间内，回答是或否。由于目标是定义真实数，这只能激发定义哪些规则应该被认为是真实数的想法。这个规则必须满足五个属性，任何满足这些属性的规则都被称为oracle。其中三个属性确保我们没有多个代表同一个真实数的oracle。另外两个属性确保oracle确实缩小到一个单一的真实数。最重要的属性是分离属性，它确保如果我们将一个是的区间分成两部分，那么一部分是是的区间，而另一部分是否的区间；例外情况是如果分割点（有理数）恰好是所需的真实数，那么两个区间都是是的区间。我们探索了使用oracle的各种例子和算法，此外还证明了oracle实际上形成了实数域。定义了一个重叠的、在想象中缩小的区间族，发现它是使用oracle算术的一种基本工具。在oracle的视角下，自然会出现与连分数表示相关的中间线逼近。我们还将其与其他常见的实数定义进行比较，如柯西序列和戴德金划分，得出的结论是oracle的视角在其他定义中是一种较为全面的指导。我们在一个明确的例子中将oracle算术与十进制算术和连分数算术进行对比。
作者：James Taylor
论文ID：2305.04935
分类：General Mathematics
分类简称：math.GM
提交时间：2023-05-18