Voronoi图在平面图的直径问题中还能做些什么？

摘要：用Voronoi图技术在平面图中计算直径的时间可以在次二次方时间内完成。我们在静态、容错、部分动态和无权无向平面图中提出了这种技术的新应用，同时也指出了一些新的限制。 1. 在静态情况下，我们给出了计算平面图$G$直径的时间算法，时间复杂度为$n^{3+o(1)}/D^2$和$ \widetilde{O}(n \cdot D^2)$。当$Dn^{2/3}$时，这比现有的算法$ \widetilde{O}(n^{5/3})$更快。 2. 在容错设置中，我们为计算$G \setminus \{e\}$的直径，其中$e$为$G$中的每条边，提供了一个时间复杂度为$n^{7/3+o(1)}$的算法，即替换直径问题。与每条边都运行静态算法的朴素算法$ \widetilde{O}(n^{8/3})$相比，我们的算法更高效。 3. 在增量设置中，我们希望在添加边的同时维护直径，我们提出了一个总运行时间为$n^{7/3+o(1)}$的算法。与每次更新后运行静态算法的朴素算法$ \widetilde{O}(n^{8/3})$相比，我们的算法更高效。 4. 我们提供了一个下界（基于SETH的条件），排除了在*加权*平面图中维护直径的均摊$O(n^{1-ε})$更新时间。即使是在增量或减量更新的情况下，这个下界仍然成立。 我们的上界是通过对Voronoi图的新应用和操纵来实现的。其中包括在图的边被删除时维护Voronoi图，允许Voronoi图中的站点位于BFS树的层次上（而不是$r$-division的边界上），以及从增量直径到增量距离预言的新规约，这可能超出了平面图的范畴，值得关注。我们的下界是关于基于SETH条件的动态平面图问题的第一个下界。

作者：Amir Abboud, Shay Mozes, Oren Weimann

论文ID：2305.02946

分类：Data Structures and Algorithms

分类简称：cs.DS

提交时间：2023-07-06

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