单边、交织、正向和共正的多项式逼近与插值约束
摘要：对于给定的$N$中，一个非负函数$fin C^r[a,b]$，其中$rge 0$，一个在$[a,b]$上的任意有限点集$\{ig{alpha\_iig}\}_{i \in J}$和相应的非负整数集合$\{ig{m\_iig}\}_{i \in J}$，其中$0 \leq m_i \leq r$，$i \in J$，是否存在一个多项式$P_n$，其次数为$n$，使得： (i) 对于足够大的$N$，对于$[a,b]$中的所有$x$，$|f(x)-P_n(x)| \leq c ho_n^r(x) \omega_k(f^{(r)}, ho_n(x); [a,b])$，其中$ ho_n (x):= n^{-1} \sqrt{1-x^2} +n^{-2}$且$\omega_k$是经典的$k$阶光滑度； (ii) 对于所有$0 \leq u \leq m_i$，对于所有$i \in J$，$P^{(u)}(\alpha_i)=f^{(u)}(\alpha_i)$； (iii) 要么对于$[a,b]$上的所有$x$，$P(x) \geq f(x)$（称为单侧逼近），要么对于$[a,b]$上的所有$x$，$P(x) \geq 0$（称为正逼近）？ 我们不仅对这个问题提供了“明确的答案”，还对更一般的“交织”和“共正”多项式逼近的类似问题提供了类似的“明确答案”。结果表明，许多这些答案都是非常出乎意料的。 我们还证明，一般来说，对于$qge 1$的$q$-单调逼近的类似问题有负面答案，即如果$qge 1$，则具有一般插值约束的$q$-单调逼近是不可能的。
作者：German Dzyubenko and Kirill A. Kopotun
论文ID：2305.01745
分类：Classical Analysis and ODEs
分类简称：math.CA
提交时间：2023-05-04