在线几何命中集与覆盖集超越单位球在$mathbb{R}^2$中
摘要：在线几何击中集问题的研究：对于范围空间 $Σ=(\mathcal{P},\mathcal{S})$，其中集合 $\mathcal{P} \subset \mathbb{R}^2$ 是一个包含 $n$ 个点的集合，集合 $\mathcal{S}$ 是 $mathbb{R}^2$ 中的一组几何对象。在在线设置中，几何对象逐个到达。在对象到达时，在线算法必须通过做出不可逆的决策来维护一个有效的击中集，即一旦算法将一个点添加到击中集中，就无法在将来删除。几何击中集问题的目标是找到一个最小基数的击中集。Even and Smorodinsky (Discret. Appl. Math., 2014)考虑了一个在线模型（模型-I），其中范围空间 $Σ$ 是事先已知的，但输入对象在集合 $\mathcal{S}$ 中到达的顺序是未知的。他们提出了在线算法，对于 $mathbb{R}^2$ 中的区间、半平面和单位圆，具有最优的竞争比率 $Θ(log n)$。对于单位正方形是否存在这样的算法的问题长期以来一直未解决。本文考虑了一个在线模型（模型-II），在该模型中整个范围空间 $Σ$ 不是事先已知的。我们只知道集合 $\mathcal{P}$，但事先不知道集合 $\mathcal{S}$。需要注意的是，模型-II 的任何算法也适用于模型-I，但反过来则不成立。在模型-II 中，我们针对 $mathbb{R}^2$ 中的单位圆和正规 $k$-gon（$k \geq 4$）获得了一个最优的竞争比率 $Θ(log n)$。所有上述结果对于模型-II 中的等价几何集覆盖问题也成立。
作者：Minati De and Ratnadip Mandal and Satyam Singh
论文ID：2304.06780
分类：Computational Geometry
分类简称：cs.CG
提交时间：2023-04-17