在ETH假设下，近似k-团问题的难度提高了
摘要：在本论文中，我们证明了在指数时间假设（ETH）的前提下，不存在 $f(k) \cdot n^{k^{o(1/\log\log k)}}$ 时间复杂度的算法可以决定一个$n$-顶点图是否包含大小为$k$的团或不包含大小为$k/2$的团，也不存在FPT算法可以决定输入图是否有大小为$k$的团或没有大小为$k/f(k)$的团，其中$f(k)$是$k^{1-o(1)}$的某个函数。我们的结果显著改进了之前的工作[Lin21, LRSW22]。证明的关键在于构造用于kclique问题的产生间隙的约简方案。更具体地说，我们证明了给定一个在并行环境中局部可测试和光滑可局部解码的纠错码$C:\Sigma_1^k\to\Sigma_2^{k'}$，可以构造一个约简方案，该方案在输入一个图$G$后，在$(k')^{O(1)}\cdot n^{O(\log|\Sigma_2|/\log|\Sigma_1|)}$时间内输出一个图$G'$，满足以下条件： $\bullet$ 如果$G$有大小为$k$的团，则$G'$有大小为$K$的团，其中$K = (k')^{O(1)}$。 $\bullet$ 如果$G$没有大小为$k$的团，则$G'$没有大小为$(1-\varepsilon)\cdot K$的团，其中$\varepsilon\in(0,1)$是一个常数。 然后我们构造了这样一个纠错码，其中$k'=k^{\Theta(\log\log k)}$且$|\Sigma_2|=|\Sigma_1|^{k^{0.54}}$，从而证明了上述困难结果。我们的纠错码将[WY07]中的导数码推广到了超常数阶的导数情况。
作者：Bingkai Lin, Xuandi Ren, Yican Sun, Xiuhan Wang
论文ID：2304.02943
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2023-04-07