由曲线确定的两点模式
摘要：光滑曲线包含原点。$mathbb R^d$的每个Borel子集是否具有与$Gamma$相关的“Sarkozy-like”性质，即包含两个不同的元素，其差是$Gamma setminus {0}$的成员？Kuca，Orponen和Sahlsten已经肯定地回答了这个问题，对于具有非零曲率的特定曲线，标准抛物线$(t，t^2)$在$mathbb{R}^2$中。在本文中，我们使用解析的“functional type”概念，它是谐波分析中无处不在的曲率推广，以研究在具有较大Hausdorff维数的集合中的模式包含。具体而言，对于$ 每个$曲线$Gamma subset mathbb{R}^d$，在原点处具有有限类型，我们证明存在一个维度阈值$epsilon > 0$，使得$mathbb{R}^d$的Hausdorff维数大于$d-epsilon$的每个Borel子集都包含一对形如${x，x+gamma}$的点，其中$gamma in Gamma setminus {0}$。虽然我们得到的阈值$epsilon$不是最优的，但它被证明在给定“类型”的所有曲线上都是统一的。我们还证明了对于$Gamma$以多项式的参数化或光滑函数的图形为$Gamma$的情况，有限类型假设是必要的。因此，我们的结果暗示了具有预设Hausdorff维度的集合与其中必须包含的“类型”双点模式之间的对应关系。
作者：Benjamin B. Bruce and Malabika Pramanik
论文ID：2304.02882
分类：Classical Analysis and ODEs
分类简称：math.CA
提交时间：2023-04-07