Banach空间中的拳击不等式
摘要：对于每个闭$n$维流形$M$在（有限或无限维）Banach空间$B$中，对于每个正实数$m\leq n$，存在一个伪流形$W^{n+1} \subset B$，使得$partial W^{n+1}=M^n$和${ m HC}\_m(W^{n+1})\leq c(m){ m HC}\_m(M^n)$。这里${ m HC}\_m(X)$表示$m$维Hausdorff内容，即所有用有限个开度量球的集合对$X$进行覆盖的半径$r_i$的最小值之和的下确界。 在经典情况下，当$B=\mathbb{R}^{n+1}$时，这个结果意味着如果$Ω\subset\mathbb{R}^{n+1}$是一个有界域，则对于所有的$m\le(0,n]$，${ m HC}\_m(Ω)\leq c(m){ m HC}\_m(partial Ω)$。尽管这个不等式在$m=n$的情况下已经是众所周知和广泛使用的（Gustin的boxing不等式，[G]），但它似乎是新的。 该结果是以下更一般定理的一个推论：对于Banach空间$B$中的紧致子集$X$和正实数$m$，满足${ m HC}\_m(X) ot= 0$，存在一个有限的$(\lceil m\rceil-1)$维单形复形$K\subset B$，一个从$X$到$K$的连续映射$phi:X\longrightarrow K$，以及一个自连续映射$H:X imes [0,1]\longrightarrow B$，它是从$X$的包含映射到$phi$（作为一个从$B$到自身的映射）的同伦，满足：（1）对于每个$x\in X$，$||x-phi(x)||_B\leq c_1(m){ m HC}\_m^{1/m}(X)$；（2）${ m HC}\_m(H(X imes [0,1]))\leq c_2(m){ m HC}\_m(X)$。这个定理加强了[LLNR]的主要结果。
作者：Sergey Avvakumov, Alexander Nabutovsky
论文ID：2304.02709
分类：Metric Geometry
分类简称：math.MG
提交时间：2023-04-07