欧拉级数对正弦和余弦的应用。在非标准分析中的解释。
摘要：欧拉在《引例分析》的第八章中推导出了正弦、余弦和公式$e^{iv}=cos v+isin v$的级数。他的论证运用了无限小和无限大数以及一些奇怪的等式。我们将这些看似矛盾的对象解释为超实数领域中的对象。我们证明了任何非阿基米德域都可以提供这样一个解释的框架。然而，欧拉的证明有一个隐含的引理，需要非标准分析的特定技巧。分析《微积分学原理》的第三章揭示了欧拉对一个包含无限小的有序域的规则的依赖性——这些规则与他推导$sin v$、$cos v$和$e^v$的级数时使用的规则相同。
作者：Piotr B{l}aszczyk, Anna Petiurenko
论文ID：2304.01353
分类：History and Overview
分类简称：math.HO
提交时间：2023-04-05