范畴关系的Dowker对偶
摘要：关于关系的Dowker对偶定理的分级化 Dowker定理表明，关系$R subseteq X imes Y$的Dowker复合与转置关系$R^T subseteq Y imes X$的Dowker复合同伦等价。给定小范畴$mathcal{C}$和$mathcal{D}$的关系$R$，即形如$R colon mathcal{R} o mathcal{C} imes mathcal{D}$的函子。我们定义了双简单形矩形神经元$ER$和Dowker神经元$DR$。双简单形集合$ER$的对角线$d(ER)$通过自然投影$d(pi\_R) colon d(ER) o DR$映射到简单形集合$DR$。 我们引入了关于范畴关系的一个判据，确保从双简单形矩形神经元的对角线到Dowker神经元的投影是一个弱等价。满足这个判据的关系被称为Dowker关系。如果范畴关系$R$及其转置关系$R^T$都是Dowker关系，则Dowker神经元$DR$和$DR^T$是弱等价的简单形集合。 为了证明我们引入的分级化的抽象，我们给出了两个应用。第一个应用是展示Quillen的定理A可以被看作Dowker对偶的一个实例。在第二个应用中，我们考虑一个具有顶点集$V$的单形复合$K$，并展示了单形集合的几何实现与$K$的几何实现之间存在自然的同伦等价，其中$n$-单形的集合由映射${0,1,dots,n} o V$给出，其映像是$K$的一个单形。
作者：Morten Brun, Marius G{aa}rdsmann Fosse, Lars M. Salbu
论文ID：2303.16032
分类：Algebraic Topology
分类简称：math.AT
提交时间：2023-03-29