使用来自$mathbb{Z}^d$的点在线打击$mathbb{R}^d$中的单位球和超立方体
摘要：在线hitting set问题是针对范围空间$Sigma=(calX, calR)$的，其中点集$calX$是预先确定的，但几何对象集合$calR$事先未知。在这里，几何对象逐个到达，目标是通过做出不可撤销的决策来维护最小基数的击中集。在本文中，我们考虑了对象为单位球或单位超立方体的情况，对象在$mathbb{R}^d$中，点来自于$mathbb{Z}^d$被用于将其击中。首先，我们考虑更低维度的对象（单位球和单位超立方体）的问题。我们分别给出了$mathbb{R}^2$和$mathbb{R}^3$中单位超立方体的$4$和$8$-competitive确定性在线算法。另一方面，我们提出了$mathbb{R}^2$和$mathbb{R}^3$中单位球的$4$和$14$-competitive确定性在线算法。接下来，我们考虑更高维度的对象（单位球和单位超立方体）的问题。对于在$mathbb{R}^d$中击中单位超立方体，我们提出了一个$O(d^2)$-competitive随机在线算法用于$dgeq 3$的情况，并证明了对于任何$dinmathbb{N}$，该问题的任何确定性算法的竞争比至少为$d+1$。然后，对于在$mathbb{R}^d$中击中单位球的问题，我们提出了一个$O(d^4)$-competitive确定性算法，并且对于$d<4$，我们证明了任何确定性算法的竞争比至少为$d+1$。
作者：Minati De and Satyam Singh
论文ID：2303.11779
分类：Computational Geometry
分类简称：cs.CG
提交时间：2023-03-22