多面体逼近的最优体积敏感界
摘要：凸体的近似是几何学中的一个基本问题，具有广泛的应用。对于固定的维度$d$和直径$\Delta$的凸体$K$，目标是通过最小化近似多面体的顶点数（或者面数）来给定一个Hausdorff误差$\varepsilon$。根据Dudley（1974）和Bronshteyn和Ivanov（1976）的经典结果，顶点数（或面数）至少需要和足够的$O((\Delta/\varepsilon)^{(d-1)/2})$个。虽然这个界限在最坏的情况下（例如欧几里得球体）是紧密的，但对于瘦高的凸体则远非最优。一种自然的刻画凸体瘦高度的方式是它与欧几里得球体的关系。给定一个凸体$K$，定义其“体积直径”$Delta_d$为与$K$具有相同体积的欧几里得球的直径，并类似地定义其“表面直径”$Delta_{d-1}$作为表面积。从推广的等周不等式可以推出$Delta \geq Delta_{d-1} \geq Delta_d$。Arya，da Fonseca和Mount（SoCG 2012）证明了基于直径的上界可以变得对表面积敏感，将上述界限改进为$O((Delta_{d-1}/\varepsilon)^{(d-1)/2})$。在本文中，我们通过证明存在一个$O((Delta_d/\varepsilon)^{(d-1)/2})$个面的近似来加强这一点。
作者：Sunil Arya and David M. Mount
论文ID：2303.09586
分类：Computational Geometry
分类简称：cs.CG
提交时间：2023-03-20