极小生成集的最大大小
摘要：关于最小的生成集，对于有限群$G$的生成集来说，如果没有真子集能够生成$G$，我们称这个生成集是最小的生成集，记作$m(G)$表示$G$的最小生成集的最大大小。我们通过证明存在$a,b>0$，使得任意有限群$G$满足$m(G) \leq a\cdot\delta(G)^b$，其中$\delta(G) = \sum_{\text{p是素数}}m(G_p)$，其中$G_p$是$G$的Sylow $p$-子群。为了证明这一点，我们首先给出了不同Lie型的几乎简单群的$m(G)$的上界（直到现在为止，对于秩为1或2的群，没有找到非平凡的上界）。特别地，我们证明存在$a,b>0$，使得任意Lie型的秩为$r$、域为$mathbb{F}\_{p^f}$的有限简单群$G$满足$r+\omega(f) \leq m(G) \leq a(r+\omega(f))^b$，其中$omega(f)$表示$f$的不同素数因子的个数。在这个过程中，我们证实了Gill和Liebeck提出过的一个猜想，即存在$a,b>0$，使得在Lie型秩为$r$、域为$mathbb{F}\_{p^f}$的几乎简单群的忠实原始作用的最小基的大小最多为$ar^b+\omega(f)$。
作者：Scott Harper
论文ID：2303.09509
分类：Group Theory
分类简称：math.GR
提交时间：2023-07-20